Polinom Nedir?
Katsayıları gerçel, kuvvetleri doğal sayılardan oluşan P(x)=a0+a1x+a2x2+.....+anxn biçimindeki her bir ifade, çokterimli. Bu gerçel katsayılı polinomlar, gerçel sayılar kümesine x elemanını katmakla elde edilen ve R[x] biçiminde gösterilen halkanın (polinomlar halkası) elemanlarıdır. Sıfır dışındaki her bir gerçel sayıya "sabit polinom", 0'a "sıfır polinom" denir. 2-3x+x2, A2, x3-1,0 vb., polinomlara örnektir. Bir polinomda derecesi (kuvveti) en yüksek olan terimin katsayısına "baş katsayı", söz konusu dereceye de "polinomun derecesi" denir. İki polinomun eşit olması için gerek ve yeter koşul, derecelerinin ve aynı dereceli terimlerin katsayılarının eşit olmasıdır. İki polinomun çarpımı tüm terimlerin birbirleriyle çarpımlarının toplamına eşittir. Çarpımın derecesi, çarpanların dereceleri toplamı kadardır. Örneğin P(x)=2-x, Q(x)=x+x4 ise P(x). Q(x)=2x-x2+2x4-x5'tir.
İki polinomun bölümü de, sayılardakine benzer biçimde tanımlanır. P(x)=Q(x). T(x)+K(x) eşitliğinde P(x)'e "bölünen", Q (x)'e "bölen" T(x)'e "bölüm" ve K(x)'e de "kalan" denir. Kalan sıfıra eşitse P(x) polinomu Q(x)'e bölünür denir. P(x)'in derecesi Q(x)'inkinden büyük olduğu hâlde kalan sıfırdan farklıysa bölmeden söz edilemez. Öyleyse polinomlar halkası bölme işlemine göre kapalı değildir. Aşağıdaki işlemde x5-2x3+x2+x-1 polinomunun x2-1'e bölünebildiği görülmektedir. Bir P(x) polinomunun (x-a)'ya bölünmesinden elde edilen kalan, P(a)'ya eşittir. P(a)=0 ise, P(x) polinomu (x-a) ile bölünebilir demektir. R[x] halkasına yine tanımsız ve belirsir bir y elemanı katmakla, daha geniş R[x,y] halkası elde edilir. Örneğin P(x,y)=2x3y2+xy4-y5 polinomu R[x,y]'nin elemanıdır.
Burada olduğu gibi, R[x,y] halkasının elemanlarından her bir terimin derecesi x ve y'lerin dereceleri toplamına eşittir. Gerçel sayılar kümesine eklenen x,y gibi elemanlar yine gerçel sayılar olursa, birer sürekli fonksiyon elde edilmiş olur. Sabit olmayan iki ya da daha çok polinomun çarpımı biçiminde yazılamayan polinomlar "indirgenemeyen polinom" adını alır. İndirgenemeyen bir polinomun baş katsayısı 1 ise bu, "asal polinom"dur.
